撰文?|?黎景辉（首都师范大学数学科学学院讲座教学）
来历 | 和乐数学，原载于数学教育学报（2014 年 2 月? vol.23, no.1）
黎景辉
1 导语
大学大学大学数学教育是一个连在一同的有机体，改变任何一有些都会影响全身。可以把从大学到大学的数学教育看作一个常识传递链，也可以做个模型把这个常识传递链看作一根水管，数学常识就在这水管中流着。
记住杨振宁先生的父亲杨武之教授说，民大学国大学数学系只是教学三角、几许、二次方程。今日这些已是大学数学的标准课程。这就是研讨者在这儿所讲的：数学常识在这管里流着，早年是大学数学的内容，如今现已流到大学去了。相同，如今大学本科数学的主力课程是矩战线性代数，欧拉-黎曼式微积分，微分方程是 19 世纪的数学，在 21 世纪是不是可以把这些课程下移，是不是可以在大学本科教学多一些 20 世纪的数学呢？
现代科技高速行进，新的数学和数学新的使用不断呈现。就像在水管的源头不断有水涌出来要灌入这水管里。举个比方，voevodsky（北京 2002 年 fields 奖得主）在 2012 年提出：当今的数学已是在结束。现行以集结论作为基础的数学已无法处置数学以内至工程之中的数学疑问！他高举新的数学改造旗号，他提出 homotopy type theory 作为新的数学基础，从头再造数学！这个新的数学改造会致使啥数学教育的疑问呢？
这儿要谈论的是大学、大学数学教育整个常识链在新世纪要面临的一些疑问与困难。
2?新数学
曩昔几百年每代的人都会听到几回“新数学”这句话。这个“新”字有“时刻”的意义。信赖将来会有许多“新”的数学会呈现。不过在这儿只想谈谈 voevodsky 的改造性的“新”的数学基础！
借 voevodsky 的改造性的“新”的数学基础为比方提出这样的疑问：要树立啥机制使得“新数学”是常常的、接连的溶入大、中、大学的数学课程。这儿不是指十年一次那种翻天覆地的大改动。
在工业技能上国外公司注重常识链的高速传递。我国公司与国外公司的间隔体如今自立立异才能的缺乏。国外公司要点投入新原理、新技能的创造与使用。世界电脑公司 ibm 的 watson 研讨所竟是一座城（yorktown heights, 纽约州）！为了快速投产，我国公司一般是类型牵引跟踪式的研讨。无视常识链的全体性和传递速度。我国的工程师历来没有看过美国或俄国现役的第五代的进犯核潜艇和洲际导弹核潜艇，只好实验造第二代的核潜艇。我国十万人航天工业的探月技能是有单个的打破，但全体技能还未抵达 40 年前美苏可以做到的。一位两弹一星专家早年提示道：“咱们不晓得他们怎样做，他们晓得的也不会告诉咱们。”不要忘掉 20 世纪六七十年代的接连，今日我国仍是不会造电脑晶片（cpu），大型喷发机用的涡扇建议机，大型船舰用的核反应堆，射程 1.5 万公里多弹头重型固体燃料导弹，巡航导弹所带着的小型核弹头，鱼雷发射潜艇对空导弹。或许这些只是需要改进现稀有学的使用，不过假定一个“新”的数学成功了，继而致使工业技能的大改造，但咱们的数学教育却没有恰当地反映这些新潮流，致使自个的技能又落后几十年！那我们的差错就大了！
voevodsky，苏联人，莫斯科国立大学结业，美国哈佛大学博士，导师是苏联人 kazhdan，现为在美国 princeton 的高级研讨所（ias）教授（编者注：voevodsky教授于2021年去世）。voevodsky 第一个立异的作业是用多值映射处置在代数几许领域是没有满足多代数映射可用来规划接连同伦的疑问。用此他处置 milnor 的一个代数 k 理论里关于二次型的疑问，在 2002 年获得菲尔兹奖（2002 年第 24 届世界数学家大会在我国北京举办，颁奖式在北京公民大礼堂举办）。
在此简略地介绍这个“新”的数学基础。故事要从 19 世纪末 20 世纪初初步。那时数学家极期望把数学树立在一个紧密没有内存敌对的基础上。其时研讨数学基础（foundation of mathematics）的 3 个首要派系是：
(1)formalism（方法派）。这一派认为数学是一个方法体系。所谓方法体系包括：符号、正义、推理规则和定理。可以把推理规则看作符号的组合规则?(deduction rules are combinatorial rules)。方法体系的根柢需求是不存在彼此敌对的定理。方法体系是与实际世界常识彼此独立。正如谈论数学与物理的联络，可问：怎样把方法体系内的定理使用到实际世界?(anwendungsproblem)，但这是方法体系外的疑问。主方法导人有 hilbert 和 godel。hilbert 的首要作品：《几许基础》，这是我国从事核算机主动证明的人都很了解的一本书。还有他和 bernays 合著的《数学基础》。
(2)intuitionism（直觉派）。这一派认为数学的推理只是用了简略的、传统的逻辑，而传统逻辑的推理只是用了“子集”这个主意。实践上没有理由如此地捆绑推理。他们认为初始的数学概念来自直觉。只容许用规划法?(constructive method)?导出新的界说。第一个体系地这样想的人是 brouwer，其别人还有 poincaré、weyl 和 heyting。
(3)logicism（逻辑派）。他们认为可以在一个逻辑体系内界说一切数学概念和证明一切数学定理。这样看“数学”是一种逻辑规划。russel 和 whitehead 在他们的《数学原理》就树立了这样的体系。亦可参看所引 frege 的作品。
在这儿不方案批判这些观念?得魑墩庑├砺鄣拇蚩崛煌Ｏ吕础Ｇ胨嫜刑终咛皇兰偷?2012 年。voevodsky 提出对数理逻辑中的 martin-lof 的直觉类型论(intuitionistic type theory)?处以同伦论?(homotopy theory)?说明，以此树立“以核算为基础”的数学。voevodsky 的观念是：定理的证明是方法体系内在的一有些。证明的正确性的查验就像程序的查验与功能分析相同。在这个观念下，就像类型论岀如今函数式编程?(functional programming)?相同，他打开同伦类型论(homotopy type theory)?作为数学基础。这样他对数学“证明”给了新的界说，本质上改动了数学，所以可以说是一个数学改造。在这种意义下数学会怎样打开呢？voevodsky 为他的主意开设了一个网站：homotopytypetheory.org。
在这同一时期，哈佛大学的 jacob lurie 快将结束了 quillen 的主意的第一步：把同伦论溶入代数几许。这就是研讨者在《谈谈代数数论》(《数学通报》)?一文中所说的第五波：把交流环领域变为单纯形环领域?(category of simplicial rings)?得出的代数几许在数论的使用。
voevodsky 和 lurie 都在谈同伦论。可是 voevodsky 讲的是数学基础，啥是证明，假定扩展证明的界说，将会发生许多新的数学。另一方面在 lurie 的理论，他需要运用 higher category 理论，他为此写了一本 higher topos 的书。尽管还未弄理解，voevodsky 认为他的理论是与 higher category 有联络的。
这如同说：同伦论正在揪起一场数学改造，但却没有说：放下现有的悉数，推广 voevodsky-lurie。研讨者只是说：请想想怎样不断地把新思维输入数学教育体系。只是说：有些新思维可以会致使根柢的改动，假定传递太慢，会有非常严峻的不良成果。当前情况是，不但旧的如 typed lambda calculus，就是新的 higher category 在我国没有中文书，也没有在数学系开课！
同伦论只是一个比方而已！信赖在核算机理论、物理、化学、生物学将会有新的数学等候我们归入自个的课程内。比方核算机系讲稠密线性代数?(dense linear algebra)，很少传闻数学系开这样的课。
3?内容传递
所谓数学教育常识链的“内容”，简略地说，就是学校教师所教学的数学课的内容。
主张把有些 20 世纪的数学更早地教给有些学生。这将一起影响大学和大学的数学课程。下面将分红两个有些来谈论。
趁便说两句：研讨者不完全附和西方 20 世纪儿童教育理论，把数学学习当作游戏，把数学的内容全换作往常的什物，表面上学生更易懂、更高兴，成果游戏方位过高，学习情绪不严厉，学习内容浅陋，学生养成对科学的规划性的恶感与惊骇。请留心 2013 年英国教育部就宣告变革需求换回传统稳重的数学！(见文 [24])。游戏是一种学习办法而已，因人因时而异，切勿以此为主。
研讨者也不信赖教育生智商查验题就是数学教育。应对立用智商查验题替代数学考试，要注重基础数学的教育与考试，对立那些选择题的简便考法。这只不过是用来选择的一种平价快速行政办法。得出来的是念口诀做了千万道例题的人，不必定是有学问，会数学，有才能的人。很意外我国一些机构从西方或我国香港的大学的人事打点学系学来这种所谓现代科学办法用来招聘。智商变得太重要了！
研讨者不方案争辩数学教育理论、教育哲学、青少年学习心思学和教育政治学，等等，只想讲内容。新的数学不断地添加。假定咱们在 21 世纪的大学大学不多教一些 20 世纪的数学，则我国民众的常识链会岀现像“公路交通堵塞”相同的表象，现已正在学校教的数学不动地停在路中心，另一边新的数学不断岀如今路的前头，无法进入。我们都会附和国民教育不前进对整个国家的经济打开没有优点。
(1) 大学部。研讨者主张在大学树立如大学相同的选课准则，让有才能的学生多学点新的数学内容。大学树立恰当的课程体系以协作新的数学课程规划，使用选课准则使大学数学教育动态地结束常识传递使命。请留心：当把新的内容放到大学时，并不是说要把这个传递数学的管道的半径加大了，不是说在大学里数学课程加大了，教师的教育量加多了，而是说：当有些大学的内容流到大学去的时分，有些大学的数学内容流到大学去，这样教育量不致改动太大。以下谈论 4 点。
①“矩战线性代数”。这是可以在大学教的，最少初步时可以讲矩阵与线性方程组求解，将来才参加线性空间和线性改换。
②“欧拉-黎曼式微积分”。可所以受苏联教科书的影响，如今常把“微积分”和“数学分析”合在一同教。成果有恰当多的学生两样都学不好！“微积分”这样重要并非常有用的东西学不好，这今后的便无法学了。项武义教授在国内出书过一本“微积分”教科书。此书一方面反映把“微积分”和“数学分析”分隔教的观念，另一方面反映他在美国数十年教大学的经历。这是很值得参阅的教材。研讨者认为“欧拉-黎曼式微积分”是可以在大学教的。王昆扬教授测验过在北京十一学校教“数学分析”。这个实验成功的一个缘由是师生都很优良。对全国大学而言，在大学里从教“微积分”到教“数学分析”是一个需要时刻的“内容传递”，是急不来的，也不是立个法便会发生的。
③如今少年都会用电脑。以上矩战线性代数和微积分都很合适说明使用电脑的优点。跟着大学生学会了用电脑处置数学疑问，更多人想用 maple、matlab 和 mathematica 这样的软件。试想全国有 2000 万大学生每人付 200 美元买一份美国的核算软件，对整个国家来说这是一个很大的金钱输出！主张天然科学基金和教育部联手出钱造一个中文版类似 matlab 的软件，免费给我们运用；主张教育部树立团队创建和援助免费教育软件；主张我国免费教育软件用免费的揭露的 unix（linux）来写。
④关于几许的教育内容的两点观点。
（甲）在 20 世纪六七十年代香港的大学教二、三维解析几许学和几许拓扑学（橡皮几许一 rubber geometry, 绳结-?knots）。其时进口的英国教科书如今在香港全都不见了。大约学校已不教了，很怅惘。研讨者也念过苏步青先生的《高级几许学》，比方书中说明矩阵的对角化与三维空间的二次曲面分类的联络，把矩阵的对角化图象化了，看得见了！今日有电脑之后，不管大学生和大学生都会理解这种几许学，都会
简略承受初等的核算几许学。这又可以协作前面所主张的：电脑在线性代数和微积分中运用。20 世纪 60 年代从俄文翻译的一些给大学生看的几许学的书，如今都找不到了，幸亏今日有非常好的书，如 shafarevich 与 nikulin 写的，或许是在网上莫斯科独立大学几许讲义。这些书讲的几许都是有许多图象的。研讨者主张加强直观几许学（geometric intuition）的教育。有图可看的几许，可以供给丰厚的比方协助查验笼统的几许学。打开直观几许学的教育的困难之一是教材的疑问，特别是短少教科书加上相配的动态几许图象电脑软件。
（乙）如今大学常把学平面几许学习换为难题会集营。学生的几许解题行为已被训练成心思学里的条件反射行为。这样，当教师从更高的观念讲平面几许的规划时学生便没有快乐喜爱了。主张完全改动现行的几许教法。在（甲）中注重几许的直观几许目标，在（乙）中直接面临疑问：把“正义体系”这个概念作为数学内容在这常识链内下传。使用欧几里得平面几许作为“正义体系”的根柢比方来教授“数学规划”。透过正义的改变来了解“正义”与“数学规划”的联络。这样使用“平行正义”的更改就很简略引入 19 世纪的非欧几许的一些根柢模型。要把平面几许从难倒学生的题海中解放出来，让学生晓得：从假定到结论是一个逻辑推理进程，更了解：由电脑程序所证出来的成果是需要从给定正义初步的。这一种了解和训谏使学生理解包括数学的一切理论科学的根柢精力和规划。这种逻辑思维和体系科学是练习科学家和工程师的非常重要的基础。为了我国的工业生命，这是不可以以扔掉的！这不是不可以能做到的，曩昔 3 年北师大实验大学大学几许教育就成功测验过。
（2）大学部。主张大学数学课根柢化，也就是让有些有才能的学生修读加强根柢化的课程。这儿想介绍几件可以做的事。
①数学分析。2001 年北京师范大学的王昆扬教师出书了一本全新的“微积分”教科书逐个《简明数学分析》。王教师说“打破常规之处，就是用 lebesgue 积分替代 riemann 积分……20 世纪创建的 lebesgue 积分理论战胜了 riemann 积分的缺陷……”这本书真的做：在 21 世纪多教一些 20 世纪的数学。研讨者认为不使用这本书去批判这个主意。第一，我国有 300 年写“微积分”教科书的丰厚经历，单是我国今日就有上百种“微积分”教科书。王教师这本书是第一本，是个正确的初步吧！这样的事太少了。多些人多写几本，逐渐就把路找出来了，不必等学外国人怎样做的。第二，对那些在大学已学过以核算为本的“欧拉-黎曼式微积分”的学生来说，王教师的说法就是简略天然了。
②逻辑、集结论、一般点集拓扑学与领域学。这些都是学一些规划性比照强的数学的基础。教师在大学和大学一、二大学都只是教数学核算，所教所考的微积分和线性代数都是标准的电脑程序，如用 matlab 和 mathematica 可以简略处置。规划性的根柢数学却教得少。比方逻辑、正义集结论、一般点集拓扑学和领域学就很少需求一大学的本科生学习。
20 世纪 60 年代在香港大学的梁鉴添先生带领下，在大学教“正义集结论”（axiomatic set theory）。梁先生为此写了一部极好的集结论教科书。梁先生是周炜良先生的学弟，同是 van der waerden 的学生。这段时刻我国香港练习了一些数学家。后来为了对等，对立有些人学好些，建议“通识”，成果比照严紧的数学教材便淡出了，只需很稀有些可以出国念英才大学的人才有非常好的学习数学的机缘了。在 20 世纪 70 年代，研讨者在香港中文大学就为数学系一大学本科生开“逻辑-集结论”课作为学生学习数学规划与推理的基础练习。迩来在北京的书店看看，逻辑书都是为核算机系、哲学系和社科院的学生写的。在买书网上想找一本莫绍揆先生的逻辑教科书也找不到。
在国内出书用中文写给数学系学生学习的“领域学”教科书还没有见过。暂时不要说要具体地教“领域学”，但教 30 页的领域学是会协助学生了解更多规划性的疑问。核算机系就常教“领域学”，这正本是数学系的东西，数学系的学生反而不理解，是教师的错。
bourbaki 的数学体系就以“集结论”和“一般点集拓扑学”为起点。实数就在“一般点集拓扑学”内讲了。并不是说全国都要学 bourbaki, 而是说占全世界五分之一人员的大国能包容得起多种学习数学的办法，有一些人可以学的。bourbaki 办法是协助学生学习规划性强的数学办法的凶狠东西。
③代数拓扑学。我国有一套极好的、北大版的“代数拓扑学”教科书：江泽函《拓扑学引论》, 姜伯驹《同调论》, 廖山涛、刘旺金《同伦论基础》。如今没有多少人用这套书来教育生了。国内还未有人写过一本像 godement 写的 topologie algebriques-theorie faisceaux 的代数拓扑学教材。迩来国外的同伦论教科书是有较大的改变。比方：arkowitz,2011。假定看看 brown?(annals,2012)?的 deligne 的 mixed tate motive 猜测的证明，他们用的同伦论的背境是 bousfield-kan。看看 elmendorf 等人的书又是另外一种同伦论了。此外还有 voevodsky 和 lurie 两自个的同伦论。这样看来，我国专家在同伦论的根柢课教育现已有许多事要做了。
4?英才教育
培育英才是教育作业者们的一个一起的期望。“数学英才教育”可以说明为：让有些学生“先富起来”, 就是说：让有些同学抽出有些时刻提前学习比照 的数学技能。
不敢说一切人都是这样说明“英才教育”。比方有一种做法是把当前现有课程规模内的习题变为更难的标题，让学生不断地操练，以求在大学到大学的高考或大学到研讨院的考研取胜。
研讨者主张，“英才教育”多走一条路。就是把有些内容向下移：大学的移向大学，大学的移向大学。在现有的课时包容新的内容。不要只是在难题上下功夫，也可以在内容上下功夫。
自古以来读书是为了找作业。戏曲里就常见穷骚人上京考试为当官的故事。今日学生上大学首要是冲着文凭，期望结业后拿着文凭找个高薪的作业。这是全世界的表象。这样的学生会常常问：教师你如今讲的东西跟我将来的作业有啥联络？假定是“术科”如医、工、法、舞，这样的疑问还好答。假定是“学科”如中文、数学，除了说句“考研有用”就不好答了。
合理学生迷失在学习与对作业的神往之间的时侯，上课的教师和做思维作业的便多了一份作业，改动“真想学的不多”这种表象，协助学生信赖，来到大学的第一件事是：学。
这儿所提出的“英才教育”可以协助处置这个疑问。以内容替代难题来添加学习的快乐喜爱，把留心力引回到数学上。添加根柢规划上的练习以减轻日后学习的困难，以便撑持学习的快乐喜爱，致使学生的猎奇心，以激起学习的动力。曩昔 100 年数学里便有许多新概念和新主意。这些都不需要许多布景常识便可以透过要害比方阐明。叙说和学习这些新的内容会比做难题更简略而且风趣多了。
“英才”两个字致使一些教师的回答是：我系不是练习“数学家”的。陈省身就说过：我国不需要很大都学家。研讨者的回答是：我所谈的内容传递与更新，不是说几个顶级的专家，而是说前进许多人的数学水平。举个比方，300 年前在欧洲会微积分的人已是数学家。今日莫说全球，单是我国会微积分的工程师就不知有多少。已然不知有啥数学有啥用，数学系 更多人学更大都学是好的，数学系不单只是练习“数学家”的。
合理我们在担忧怎样把现有的新学问教给孩子的时侯又有教育家说觉得大学数学太难，大约把学校数学由难变为易。所以这儿的困难是表里兼有的。这儿所说的“英才”数学教育是主张把大中大学的数学水平全体前进到欧美比照好的学校的水平。不大约去学外国失利的经历或所谓均匀水平而牺牲了我国最佳的孩子，他们是我国科技工业的期望。简略从“英才”推出“不公正”——“为啥我的孩子不是‘英才’？”把学生的数学才能的分布看作一个谱，就像天虹是太阳光的光谱。公正的教育不是把这个才能分布谱强紧缩为一点！弱智的有特别教育去 他们，超智的有英才教育去 他们，这样把整个数学才能分布谱拉高。公正的数学教育是把一切的学生的数学水平前进，不一样的学生的“高”是不一样的。如此“英才”教育就是群众教育的一有些了。
有些外国大学对本科生开 advanced program。每个大学抽最佳的 20% 参加。在这些 advanced program 中数学内容就加强许多。比方常见在本科一大学上学期以 dieudonne 的 foundation of modern analysis 来教微积分，这本书的微分是在 banach 空间上来讲的。多变元微积分是用普林斯顿大学?(princeton university)?的 nickerson, spencer, steenrod 写的 advanced calculus, 这本微积分书已讲层论?(sheaf theory)?了。到四大学下学期学生现已学过交流代数，所以可以用 hartshorne 的 algebraic geometry 来教代数几许了。比较之下国内可以开出 20 世纪 50 年代翻译的斯米尔诺夫五卷工程数学的数学系已不错了。硕士班只能开出读导师的论文的预备役。至于拓扑群、交流代数、领域学、层论和同伦论恐怕只需一小有些的系能全开出来。大学本科生很可贵到一个全部的 20 世纪数学教育。
国表里都有优良的大学，它们培育出多名超卓的科学家，想非偶尔。或许他们是不自觉地舆行了上面所提出的“英才教育”。例如，浙江嘉兴的秀州大学，人才辈出，孕育出了陈省身、李政道、顾功叙、谭其骧、周廷儒、周廷冲、钱俊德、方怀时、潘文渊和程开甲十名院士。美国纽约市的 bronx high school of science 是另一个比方。这所公立大学的结业生中有 7 自个获得了诺贝尔物理学奖，1 自个获得了诺贝尔化学奖及 29 个美国科学院院士。在美国麻省的 andover 有一所陈旧的闻名私立大学 phillips academy 的结业生就有 3 人获得了诺贝尔奖。
在德国长时刻以来大学分为两种：gymnasium 和 schule。科学家大都是念 gymnasium 结业。这些学校的数学课的内容和水平都比照高。他们的教师常是有博士学位，甚至会是闻名的数学家。比方 grassmann 就是一位 gymnasium 教师！
在巴黎大学苏邦?(sorbonne)?校区周围有两所闻名的大学：lycee henri iv 亨利四世大学和 lycee louis le grand 路易大帝大学。他们开办 classes preparatoires aux grandes ecoles?(简称为 cpge 或 prepas)?特别训谏巴黎区域最优良的大学去投考 grandes ecoles(高级学校)。这些班当然不只教“线性代数”和“微积分”了。他们就这样理行研讨者上面所提出的“英才教育”。
在法国很大都学家都是巴黎高级师范学校?(ens)?的结业生。这所高师是法国所谓 grandes ecoles(高级学校)?的其间一所，这些 grandes ecoles 在法国被认为是比大学高一级的非常好的大学。巴黎高师的教师是由全法选出其时最佳的年青数学教授轮流当的。每个教师教了 3 年到 5 年后便回到他自个正本的学校。如此法国把精力最旺盛的，在愿望力最丰厚年岁的数学人才聚在一同发扬无量的威力。法国有 11 个菲尔兹奖。河南省的人员大约是法国的两倍。假定按人员的比例，河南省应有 20 个菲尔兹奖。假定说“自个训谏出来”的意思是指“大学、大学、研所、博后”都是在本国结束的，那我国还未有一个“自个训谏出来”的菲尔兹奖。可以说这不是有多少人的疑问，也不是没有好的学生。研讨者信赖疑问在于教育出资分布与选项及准则。当然一自个得了菲尔兹奖只是反映了把他培训出来的国家的数学才能致使工业实力。请看只需河南省一半人员的法国出口 airbus 民航飞机，出口 lafayette 级稳形护卫舰，出口 mirage 战争机，出口发电用的核子反应堆，制造高涵道比涡扇建议机，制造欧洲宇航局所用的 ariane 火箭，制造美国以外仅有的核动力航空母舰。一个占人类五分之一的全球第二大的经济大国对人类常识文明的奉献和在数学的出资比起德法二国相对低了许多！
5?新内容的疑问
假定我们撑持我国在 21 世纪多教一些 20 世纪的数学，则马上会有因为实施而发生的许多疑问。信赖我们一向在谈论这些疑问。
(1) 学生的才能。
首要要思考学生的才能。要一起照看稀有学才能的学生及其他的学生，主张在大学树立选科制，让稀有学才能的学生选读比照 的课题。暂称此为：大学数学课多途径化。
大约承受的实际：到大学时每个学生都会有不一样的才能，有些科学，有些会说话，有些会跳舞，学生各有所长，教师各育所长。可以短谵大学生的数学水平有一个起点的需求，但不该需求一切的学生的水平是相同的。否则便浪费了打破的机缘。处以时日，逐渐地渗透，数学水平高的学生把其他的学生的水平也拉高，这样便前进了，这是一个缓慢的进程。不大约因为小有些落后了，就把全队停下来，甚至撤离——把数学课的水平越拉越低，要承受长的战线，让有些学生在前面作战！
如今的孩子是在一个知讯稠密的环境?(information dense environment)?下长大的。他们有激烈的求知欲，他们对世界有自我发现与表达的期望。让我们以新的数学内容 这些孩子安康地生长！
(2) 中大学教师的水平。
在职的教师在师范念书的时分不必定学过这些新的材料。研讨者信赖会有教师愿意承受新材料带来的应战。可是他们去那里学习怎样教些新材料呢？除了新的数学内容，怎样做习题，怎样方案习题呢？还有当教师学了，教了这些新的内容，怎样奖赏他们呢！不要遽然有 3 年全国中大学教师都去念个硕士学位，师范大学做了 3 年生意又啥都没有了，而这些“3 年遽然硕士”，会有太多是没有料子的。怎样把这个变成逐渐进行的可控进程呢？
(3) 师范大学剩下产能。
自 2000 年后，大学扩招，许多当地的师范大学数学系的结业生人数已跨越本区域的新增教席数目。师范大学是有剩下产能的，假定师范大学使用剩下产能为在职教师开设硕士课程，协助在校教师学习教新的材料，这样一方面处置了教师水平不高的疑问，而且运用了师范大学的剩下产能。
在我国台湾，一些师范大学没有处置好剩下产能，只好转型为法商学校，开办医、工科要太多经费了。在国内一些师范学院的舞蹈学系的作业楼是十倍数学系的作业空间，早就看不起数学系的产能价值了。
(4) 实施程序。
必定不主张由教育局一纸指令全部实施。主张用渗透式，逐渐地添加内容，逐渐地添加区域。由大城市拓宽到小城市，再拓宽到村庄。由最佳的大学传到其他大学。由一本大学传到其他大学。
还有一个实施的疑问：就是教纲疑问。因为教纲的断定，教师只会按需求教学内容。大有些教师不愿意教授更高阶的内容：①因为他得不到廉价；②家长投诉；③学校评分压力；④当地教育局对立。所以当要改动这个数学逐个常识传递链的时分，不单单要教师出力，还要管教师的撑持，真难。
(5) 考试。
不可以小看考试对英才数学教育的显着意义。不考试的东西是没有人要学的，没有校长和党委撑持去教的。所以内容的改造便会致使可考类另外改动，致使考试的方法。比方要引入考试选科的方法。也就是说，除了根柢数学科之外，还要添加前进数学科，让有些学生选考。就是说新内容要归入高考出题规模内。
美国的一般大学入学考试?(sat)?数学有些就分两个等级：level 1 和 level2。英国伦敦的一般文凭考试?(gce)?是大学结业生的考试。gce 有普数?(general mathematics)、高数?(advanced mathematics)?和进数?(further mathematics)3 层的考试给学生选择。一切学生都考普数，要到大学念理、工、医、经的学生加考高数，只需那些有快乐喜爱，有才能去念数学系、物理系的学生才会全考普、高、进 3 卷。这样对一般的大学生只考普数压力不会很大。把考试的内容分隔也涣散了对学生的压力，对家长给教师的压力，是很值得学习的。
下面谈谈“学”与“考”的敌对。国家关于各级升学（大学→大学，大学→大学，大学→大学）只能采纳考试的办法，这是当前最公正的选择办法。小老群众只能尽全力让孩子考高分，进入好大学，改动贫穷的命运。教师为了协助学生，为了自己的成果只好加强作业，课后作业，甚至开补习班。学生便“忙死”了。在这样的情况下，内容多样化，新内容，新考试，对整个准则有新增压力，学生更惨了。迩来一两年，教育部强令“减轻学生担负”，大学生不许留课外作业，清楚宣告各级升学不许与各学科的竞赛挂钩。但教师们以变相的方法大留作业，学生家长让孩子参加各种课外班的热心不减，因为这样才干使得学生面临各种考试中胜算较大。这个“学”与“考”的敌对是不可以以由教育作业者处置的。
国家办学为了前进公民的常识水平，以维护公民在现代科技社会的出产力。当传闻电视报导说本地大学结业生的均匀薪酬是每月 4000 元时，我们就认为在大学坐四年便等于每月 4000 元，这是很大的误解，这是社会疑问，不是数学教育疑问。
(6) 教材。
新内容需要新教材。在美苏用的不必定合适我国用。在研讨所用的不必定合适大学本科用。一个好的比方是：在数学科非常重要的出书 springer 就有两个系列：graduate text in mathematics, undergraduate text in mathematics(universitext)。
在写教材之前，第一就是布景材料没有充涣散播在学校内。比方参阅文献所引的关于数学基础的文章书本在我国就不简略找到。即便找到那种介乎哲学与数学之间的德语、法语的书本亦不是简略懂的。远一点可以问：为啥网络上的云端技能不是在我国建议呢？为啥美国有全世界最佳的核算机编程人材呢？除了经济缘由之外，可以说因为曩昔 100 年，我国不管工业界、研讨所和大学都是要产品，只需学构制品，打点的领导都要“讲得出，看得见，卖得出去”的东西。但打开编程技能是有文明布景的，如数学基础→同伦论→函数式编程→以核算作为数学基础（voevodsky）。不可以以只教最终一步，比方微积分只教初等函数的微分和积分，但完全忘掉微积分的力学前史文明布景。
按我国出书社的现行准则修改的薪酬与新书出书数目有关。这样曩昔 60 年来出书过的好书如今都找不到了，出书社不重印了。电脑资讯是日新月异的，10 年前印的关于电脑的书今日可以不大有用。但数学是有累积性的，新是树立在旧的上面，早年出书过写得好的数学教科书今日仍是可以用来学习的。可是，去哪里找这些书呢！比方在国外，像 bourbaki 的书不会因为它旧就找不到。举个比方，不可以以说在北京国家图书馆找到廖山涛的《同伦论基础》就可以，作者在肇庆学院就找不到！从广州坐一般的慢火车一个小时便到肇庆！远一点的如甘肃的武威，云南的临沧，黑龙江的佳木斯更就不敢说了。
为了让偏僻区域的学生都可以学，让每一代学生都可以买来念，主张科学出书社、上海科技出书社、高级教育出书社、公民教育出书社联手树立一个联合重印社，从他们有版权的旧书中选出一套根柢数学好书系列，常常坚持打印，平价卖出。
研讨者撑持用中文写关于根柢数学的书本。因为：第一，对大大都我国学生来说，用中文学习新的概念是比照简略的；第二，一个民族没有自已数学言语是没有期望的。
(7) 选课。
华罗庚先生说过数学生要学多个外语。当然不是每自个都有许多学外语的天资。研讨者曾向一位系主任主张需求数学系本科生每学期念一门外语课。他笑说：不可以能！第一，学生现已有很大都学之外的课，没有时刻了。第二，外语系不愿意教。
熟识我国高校行政的当然晓得这件事。研讨者亦不想在此谈论处置战略。可是在英美加学生跨系选课的安适度大得多了。在欧洲研讨生甚至可以到另外学校，另外国家选课。
这跟数学有紧密联络。第一，外语对学数学的人非常重要。在当前的规划下，数学系学生的外语只好自学自教了。第二，举个比方。我们关怀 clay institute 的 millenium prize。其间一个疑问是关于 navier stokes 方程。或许学点流膂力学会协助处置这个疑问。假定数学系不开办此课，只好去物理系或工程学院了。在当前的规划下，这是不可以能的！那么大力推举撑持穿插科学怎样完成呢？
(8) 本钱。
大城市的教育局有更多的本钱，大城市的父母有更强的经济才能，大城市的孩子的数学教育比城外的孩子好。在共同考试，在数学竞赛里大城市的孩子便锋芒毕露。不是每一个大城市的数学成果好的孩子真的对数学有快乐喜爱，真的有天资，脱离了这个“吃维生素”的环境便转业了。一起小当地的有天资的学生没有办法触摸到一流的教师，前沿的教材，优良的学习本钱和环境。在教育本钱的不平衡下很可以沉没了小当地稀有学天资的学生，牺牲了国家名贵的人力工业。
这和新的数学内容传递有啥联络呢？尽管不能期望教师脱离大城市跑去村庄作业，可是期望我们大方地把大城市的本钱所发生的新内容免费传到城外的教育体系内。例如在网上发布录像或制成 dvd 分发。
大城市的教育局撑持大城市的教师去小当地的学校交流。要小当地的教师变为考试教练可以难，或许请他们学点新的数学内容教给学生会比照易吧！
6?结语
回想曩昔一世纪的科技作用，不管是电话、电视、电脑、雷达、火箭、人工卫星、气候猜测、人体血液力学、人脑扫描、人员控制、银行利息定价、财经产品方案，等等，都离不开数学。信赖在 21 世纪也会是这样。新的数学为新的科技供给表达和核算的平台。所以，有必要把新的数学传入我国的教育链，避免又落后他国一步。
研讨者提出的是数学教育常识链上新常识的传递疑问。研讨者的主张是：大学数学课多途径化，大学数学课根柢化。期望致使群众为文谈论，定计实施这一项数学教育工程。
变革是牵一发则动全身。我们都晓得这是?狄仔心选敝隆２皇橇饺鼋淌Φ氖拢且桓鲂枰新愣嗟慕淌透刹康娜贤⒉渭雍统懦值氖拢窃勖堑拿巍?br>
参阅文献
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作者介绍：黎景辉教授是世界出名数学家，研讨方向为代数数论。黎教授 1974 年获得耶鲁大学博士学位，师从闻名数学家robert langlands。黎教授曾在香港中文大学、悉尼大学等高级 任教，如今是首都师范大学讲座教授。黎教授有许多非常优良的作品，如教科书《二阶矩阵群的标明与自守方法》《高级线性代数学》《模曲线扶引》《拓扑群引论》《代数群引论》《代数数论》，还有许多面向群众的值得重复品读的文章。
这篇文章经授权转发自微信大众号“和乐数学”。原文标题为《关于数学教育常识链的传递疑问》。这篇文章对原文单个字词进行了修订。
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1??席南华院士：数学的意义
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